Prüfziffern: Definitionen
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Definitionen

Allgemeines

Sammlung von Begriffserklärungen die für die Berechnung von Prüfziffern und -summen relevant sind.

Definitionen

Basiszahl

Im Zusammenhang mit Prüfziffern, die Zahl über die die Prüfziffer berechnet wird.

Bit

Kurzform für Binary Digit, die kleinstmögliche Dateneinheit. Sie kann entweder 1 oder 0 betragen.

Bitweise Operationen

Grundoperationen die zwischen zwei Bitfolgen vorghenommen werden können. Bei den Operationen wird jedes Bit mit dem korrepondierenden Bit der anderen Bitfolge verknüpft. Dabei sind drei Verknüpfungsweisen machbar:

AND (Logisches UND) (∧)
1 ∧ 1 = 1
Sind beide Bits 1, so ist das Ergebnis 1, anderfalls 0 (Sowohl das Eine als auch das Andere).
OR (Logisches ODER (∨)
0 ∨ 1 = 1
Ist eines der beiden Bits 1, so ist das Ergebnis 1, andernfalls 0 (Mindestens eines von Beiden).
XOR (Exklusives ODER (⊕)
0 ⊕ 1 = 1
Sind die beiden Bits unterschiedlich, so ist das Ergebnis 1, andernfalls 0 (Nur Eines von Beiden). Mathematisch gesehen handelt es sich um eine »modulo 2 Addition«.

Beispiel für das Verknüpfen von Bitgruppen
1. Bitfolge010101010101
2. Bitfolge001100110011
Ergebnis000101110110

Die XOR-Verknüpfung ist eine der zentralen Methoden bei vielen Verschlüsselungsarten. Beim Vernam-Code kann sie als einziger Schritt zu einer nachweisbar sicheren Verschlüsselung eingesetzt werden, da der Angreifer — sofern der Schlüssel aus echten Zufallszahlen bestand — alle möglichen Varianten durchprobieren muß. Die Entschlüsselung erfolgt durch erneutes XOR-Verknüpfen von Chiffre und Schlüssel, denn es gilt:

(x ⊕ y) ⊕ y = x

Byte

Achtbitige Repräsentation eines Zeichens im Computer. Diese Festlegung erfolgte aus der praktischen Erwägung an Hand der Menge der darzustellenden Zeichen (Alphabet, Zahlen, Steuerzeichen), ist jedoch nicht zwingend. Es ist problemlos möglich Rechner zu konstruieren die eine andere Bitzahl je Byte verwenden. Wären die Computer zuerst in China mit seinen rd. 100.000 Schriftzeichen entwickelt worden, bestünde heute ein Byte aus vielleicht mindestens 16 Bit, wenn nicht sogar aus noch mehr. Daher werden in heutigen Systemen die Zeichen dieser Sprachen mit jeweils zwei Byte (zu je 8 Bit) pro Zeichen dargestellt.

Gewichtung

Multiplikation einer oder mehrerer Stellen einer Ziffernfolge mit gleichen oder unterschiedlichen Werten.

Modulo

Bestimmung des ganzzahligen Restes bei einer Division.
Bsp.: 32 mod 11 = 10, da 32 ÷ 11 = 2 Rest 10

Nibble

Ein Gruppe von vier Bits wird als Nibble bezeichnet. Somit besteht ein Byte aus zwei Nibbles.

Quersumme (Einfache und alternierende Quersumme)

Die Quersumme wird durch Addition der Zahlenwerte aller Ziffern einer oder mehrerer Zahlen berechnet.

Bsp.: Quersumme von 105 und 67 ist 1 + 0 + 5 + 6 + 7 = 19, nicht etwa 172.

Die alternierende Quersumme ist die Differenz aus den gesondert berechneten Summen der Ziffern an geraden und ungeraden Stellen.

Bsp.: Alternierende Quersumme von 9296969 = (9 + 9 + 9 + 9) - (2 + 6 + 6) = 36 - 14 = 22

#!/usr/bin/env python3.2
# -*- coding: utf-8 -*-
#
# Varianten zur Quersummenberechnung:
# Zahl als string, Rückgabewert int.
def Quersumme(Zahl):
	Zahl = int(Zahl)
	qs = 0
	while Zahl:
		qs += Zahl % 10
		Zahl = Zahl//10
	return qs

def Quersumme(Zahl):
	return sum([int(i) for i in Zahl])

Allgemeine Rechenregeln:
Ein Zahl ist teilbar duch
3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist;
9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist;
11, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist;

Irrtümlicherweise wird oft angenommen, daß Quersummen einstellig sein müssen, dies entspricht aber nicht der Definition der Quersumme. Wohl von dieser Aussage ausgehend, wird ebenfalls öfters behauptet, die Quersumme einer Zahl entspricht dem Rest bei einer Division durch Neun, außer der Rest ist Null, dann ist die Quersumme 9. Auch diese Aussage ist so nicht richtig, wie sich leicht nachprüfen läßt:

Quersumme von 12489 = 24
aber 12489 ÷ 9 = 1387 Rest 6
⇒ 24 ≠ 6

Neunerprobe: Jede Zahl läßt bei der Division durch 9 (modulo 9) den gleichen Rest wie ihre einstellige Quersumme

Neben den hier beschriebenen Anwendungen findet die Quersumme noch Verwendung in einer Scharlatanerie: Der Numerologie. Zunächst wird jedem Buchstaben eines Wortes ein Wert zugeordnet, dann bei der modernen Form der Numerologie die Summe errechnet und davon die einstellige Quersumme (auf numerologisch die Ziffer) gebildet, sofern die Summe keine Meisterzahl (11, 22) ist. Das Resultat wird dann mystisch interpretiert.

Zahlenwerte des Alphabets
WertBuchstabe
1A, J, S
2B, K, T
3C, L, U
4D, M, V
5E, N, W
6F, O, X
7G, P, Y
8H, Q, Z
9I, R

Bsp.: Unfug ⇒ 35537 = 23 ⇒ 5

Auch muß die Quersumme gerne als numerologische Bestätigungsrechnung herhalten, was sich dann typischerweise so liest:

4 × 9 = 36 = 3 + 6 = 9
5 × 9 = 45 = 4 + 5 = 9

Erst wird also ein Vielfaches von neun berechnet, um dann mittels Quersumme/Neunerprobe zu beweisen, daß das Produkt durch neun teilbar ist. Für jeden Numerologen ist dies immer wieder ein Höhepunkt in seinem Dasein.

Zahlensysteme

Im normalen Leben wächst der Mensch in seiner Kultur mit dem dort verwendeten Zahlensystem auf und kommt in der Regel nicht auf Gedanken, daß es noch andere Zahlensysteme mit einem eigenen Vorrat an Elementarzahlen geben könnte. So verwendet jeder von uns heute das Dezimalsystem ohne sich Gedanken darüber zu machen, daß dies auch bei uns nicht immer so war. Erst der Umgang mit Geschichte oder Computern erinnert uns daran, daß das Dezimalsystem nur ein Zahlensystem von vielen ist und auch nicht unbedingt das in jedem Falle Beste. Computer kennen nur Zustände wie AN/AUS, Wahr/Falsch usw. Durch Zahlen läßt sich dies mit 1 und 0 darstellen, was eben diesem Zahlensystem den Namen Binärsystem oder Dualsystem eingebracht hat. Alle Zahlen im täglichen Leben durch Binärzahlen ausdrücken zu wollen, wäre zwar möglich, aber auch äußerst unhandlich und unübersichtlich, da eben auch schon kleinere Zahlen recht lang werden können. Eine Buslinie mit der Nummer 148 müßte dann mit 10010100 benannt werden. Dies ist fehlerträchtig, da Mensch nicht in der Lage ist schnell längere Zeichenfolgen ohne weiteres als Bild zu erfassen und zu erinnern. Da Computer nun aber nur mit dem Binärsystem arbeiten, es gleichzeitig aber umständlich ist, Binär- und Dezimalzahlen ineinander umzurechnen und Programmierer auch nur Menschen sind, wird an dieser Stelle auf das Hexdezimalsystem zurückgegriffen. Auch große Zahlen lassen sich damit bequem und kurz niederschreiben und erinnern. Gleichzeitig ist die Umrechnung vom Hexadezimalsystem ins Binärsystem einfach zu handhaben, da die heutige Programmierung mit Bytes zu 8-Bit arbeitet.

Binärzahlen (Dualzahlen)

Zahlen des Zahlensystems zur Basis 2, d.h. nur bestehend aus den Elementarzahlen 0 und 1. Jede Stelle einer Binärzahl entspricht einer Potenz von 2.

Merke:

Es gibt genau 10 Arten von Menschen:
Die, die das Binärsystem verstanden haben und die,
die es nicht verstanden haben.

Konvertierung von Binär- zu Dezimalzahlen:

  • Addition aller Produkte der jedes Bits mit der jeweiligen Potenz von 2
Beispiel 1101 0100
2xMultiplikationErgebnis
200 × 1  0
210 × 2  0
221 × 4  4
230 × 8  0
241 × 16 16
250 × 32  0
261 × 64 64
271 × 128128
Summe212
212

Konvertierung von Dezimal- zu Binärzahlen:

  • Die Dezimalzahl wird durch 2 dividert (mod 2).
  • Der Rest (1 oder 0) wird rechtsabündig zu einer Binärstelle.
  • Das Ergebnis der Division wird erneut durch 2 dividiert.
  • Die Schritte 2 & 3 werden solange wiederholt, bis das Ergebnis die Division 0 wird.
Beispiel 212 (dezimal)
212 ÷ 2106 Rest 0       0
106 ÷ 253 Rest 0      0 
53 ÷ 226 Rest 1     1  
26 ÷ 213 Rest 0    0   
13 ÷ 26 Rest 1   1    
6 ÷ 23 Rest 0  0     
3 ÷ 21 Rest 1 1      
1 ÷ 20 Rest 11       
1101 0100
Hexadezimalzahlen

Zahlen des Zahlensystems zur Basis 16. Da die im Dezimalsystem zur Verfügung stehenden Ziffern 0-9 für die Zahlendarstellung in einem 16er-System nicht ausreichen, werden die Buchstaben A-F zur Repräsentation der Dezimalzahlen 10-15 hinzugezogen. Somit stehen jetzt die Elementarziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F für Rechenoperationen zur Verfügung.

DezBinOktHex
00000 000000
10000 000111
20000 001022
30000 001133
40000 010044
50000 010155
60000 011066
70000 011177
80000 1000108
90000 1001119
100000 101012A
110000 101113B
120000 110014C
130000 110115D
140000 111016E
150000 111117F
DezBinOktHex
160001 00002010
200001 01002414
300001 1110361E
400010 10005028
500011 00106232
600011 1100743C
700100 011010646
800101 000012050
900101 10101325A
1000110 010014464
2551111 1111377FF

Um Verwechslungen zu vermeiden werden Hexadezimalzahlen durch ein vorangestelltes Präfix gekennzeichnet. Durchgesetzt hat sich hierfür das in der Programmiersprache C verwendere 0x, dennoch findet man auch bei manchen Systemen und Autoren h oder $. Auf kommerziellen Podukten wird oft gar kein Präfix aufgedruckt, was solange kein Problem ist, wie einer der Buchstaben A-F in der Zahl enthalten ist. Darüberhinaus werden Hexadezimalzahlen oft in Zweizifferblöcken, d.h. Byteweise, gegliedert um die Lesbarkeit zu erhöhen:

DezimalHexadezimal
10x 01
500x 32
2550x FF
10.0000x 01 86 A0

Konvertierung von Binärzahlen zu Hexadezimalzahlen:

  • Die Binärzahl wird in Gruppen von vier je Bits (Nibbles) gegliedert
  • Für jedes Nibble wird der Dezimalwert berechnet.
  • Jeder Dezimalwert wird nach hexadezimal konvertiert.
  • Alle Hexadezimalwerte werden in einer Reihe notiert.
Beispiel
1101 0100
NibbleDezHex
110113D
010044
0xD4
Oktalzahlen

Zahlen des Zahlensystems zur Basis 8, dargestellt mit den Elementarziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Der Zusammenhang der Oktalzahlen mit den anderen Zahlensystemen wird am besten aus der Tabelle bei den Hexadezimalzahlen ersichtlich.

Oktalzahlen werden bspw. häufig benutzt um die Zugriffsrechte einer Datei unter UNIX übersichtlich darzustellen.

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